и та же цифра, что и нормальное напряжение, нельзя сбрасывать со счетов. Касательным напряжением изгиба мы называем напряжение, распределенное почти равномерно по толщине стенок профиля, не связанное с
закручиванием стержня. Например, если Людмила Фирмаль
симметричный стержень, по крайней мере двутавровая балка или канал, изгибается силой, действующей на его плоскость симметрии, то ясно, что никакого скручивания нет. Очень высокая жесткость В баре нет. Кручение замкнутых тонкостенных профилей делает для
них вопрос о вторичных ситуациях отсутствия кручения. В том же случае, даже если тонкостенный стержень открытого профиля изогнут в плоскости, даже если основная плоскость не является симметричной плоскостью, особенно для того, чтобы предотвратить скручивание, мы предполагаем, что при определенных
- обстоятельствах нет скручивания тангенциального тангенциального, поэтому другие напряжения не напрягаются при наличии напряжений в провисающем сечении, сдвигаются, то есть вызывают изменение исходного прямого угла. 187), так как сечение не может оставаться перпендикулярным изогнутой оси стержня, а напряжения в сечении распределены неравномерно. Однако, если к стержню приложена сосредоточенная нагрузка, то сила сдвига постоянна в каждом сечении, поэтому для всех сечений этого сечения
тангенциальное напряжение равно 276. Точно так же и искажение поперечного сечения такое же. Длина элемента TP между двумя участками после деформации равна»длине одного и того же элемента, вычисленной по гипотезе плоского участка»: то есть в m’ri концентрация элементов равна длине одного и того же элемента. Более точный расчет показывает, что влияние поперечного искаженияみ тангенциальным напряжением изгиба на распределение нормального напряжения в более общем примере потери нагрузки незначительно, поэтому уравнение (126.1) является общим. Чтобы найти касательные напряжения,
будем считать, что они распределены, но(рис. Толщина стенок равна-188). Людмила Фирмаль
Положение верхней точки ■С Поверхность стержня определяется двумя координатами z-расстояние от неподвижного поперечного сечения на изображении y — $ — дуга, отсчитываемая от любого конца среднего значения Средняя крапива: щи и разомкнутая линия сечения. Общая длина дуги средней линии контура сечения обозначается Y, а толщина стержня B является функция, а не Г. Сила, действующая на поверхность объемного элемента, образованного обычным сечением, проходящим через стороны элементов средней плоскости, показана на рисунке. Уравнение равновесия 189
элементов принимает вид: — 3i-I-e g* — ° — по закону касательного напряжения, при t=0 s=0 и$=y. заметим, что интеграл (126.2), находим:. с- (126.2)- (126.3)§ 127] напряжение сдвига при изгибе 277 Но, согласно формуле (126.1), учитывая независимость b от g, получаем!
Техническая механика
Сопротивление материалов
Напряжения при изгибе
Нормальные напряжения при чистом изгибе
Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.
Рассмотрим участок балки, подверженный деформации чистого изгиба. Двумя поперечными сечениями АВ и СD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds (рис 1) . Радиус кривизны нейтрального слоя балки обозначим ρ .
Рассмотрим слой волокон mn, находящийся на расстоянии y от нейтрального слоя NN . Это волокно в результате деформации изгиба удлинилось на величину nn1 . Ввиду малости расстояния ds заштрихованные треугольники будем считать прямолинейными; эти треугольники подобны (n1F || mE) :
Из подобия треугольников запишем равенство:
Так как левая часть этого равенства есть относительное удлинение, т. е. nn1 / ds = ε , то y / ρ = ε .
Применив закон Гука при растяжении и сжатии σ = Еε , получим:
Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.
Распределение нормальных напряжений изображено на рис. 2 .
Полученная формула для определения нормальных напряжений неудобна, так как в нее входит радиус кривизны нейтрального слоя.
Для вывода формулы, связывающей нормальные напряжения с изгибающим моментом, применим метод сечений и рассмотрим равновесие части балки, изображенной на рис. 3 .
В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA , в пределах которой будем считать нормальные напряжения σ постоянными; тогда нормальная сила dN , действующая на площадку dA , будет равна:
Читайте так же: Как открутить пластиковую трубу водопровода
Составим уравнения равновесия:
1. Σ Z = 0; ∫dN = 0, или: ∫σ dA = ∫Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y dA = 0 .
( ρ для данного сечения, а также модуль упругости Е – величины постоянные, поэтому вынесены за знак интеграла). Поскольку ρ и Е не равны нулю, значит, ∫y dA = 0 . Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно оси x, т. е. нейтральной оси бруса (балки). Равенство нулю статического момента инерции означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения;
Так как при чистом изгибе изгибающий момент равен внешнему моменту Ми = m , то
Ми = ∫y dN = ∫y dA = ∫y Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y 2 dA ,
где: I = ∫y 2 dA – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; ЕI – жесткость сечения при изгибе.
Так как при чистом изгибе балки постоянного сечения Ми = const, то:
Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности. Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для определения нормальных напряжений; тогда:
σ = Еy / ρ = Ey / EI / Ми = Ми y / I .
Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:
где W = I / ymax – момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).
Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.
Единица момента сопротивления сечения изгибу [W] = м 3 .
Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вычисляются по формуле
Нетрудно заметить, что эта формула по своей структуре аналогична формулам для определения напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.
Касательные напряжения при изгибе
Очевидно, что при поперечном изгибе, вызванном приложением к балке поперечной силы, в сечениях балки должны возникнуть касательные напряжения.
Определением зависимости между внешними нагрузками, геометрическими и физическими параметрами балок и касательными напряжениями, возникающими в них, занимался русский мостостроитель Д. И. Журавский , который в 1855 году предложил следующую формулу:
Эта формула называется формулой Журавского и читается так:
касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно центральной оси части сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.
По формуле Журавского можно вывести зависимости для определения касательных напряжений в балках, имеющих разную форму поперечного сечения (прямоугольную, круглую и т. п.).
Например, для балки круглого сечения формула Журавского в результате преобразований выглядит так:
где Q – поперечная сила, вызывающая изгиб, А – площадь сечения балки.
Большинство балок в конструкциях рассчитывается только по нормальным напряжениям, и только три вида балок проверяют по касательным напряжениям:
— деревянные балки, т. к. древесина плохо работает на скалывание;
— узкие балки (например, двутавровые), поскольку максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя;
— короткие балки, так как при относительно небольшом изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.
Максимальное касательное напряжение в двутавровой балке определяется по формуле Журавского, при этом геометрические характеристики таких балок берутся из справочных таблиц .
Расчеты на прочность при изгибе
Условие на прочность при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.
Полагая, что гипотеза о не надавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения при поперечном изгибе определять по такой же формуле, что и при чистом изгибе, при этом расчетная формула выглядит так:
и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, определенное по формуле σmax = Миmax / W ≤ [σ] не должно превышать допускаемое.
Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как при растяжении и сжатии.
Максимальный изгибающий момент определяют по эпюре изгибающих моментов или расчетом.
Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W , тем меньшие напряжения возникают в сечении бруса.
Ниже приведены моменты сопротивления изгибу для наиболее часто встречающихся сечений:
1. Прямоугольное сечение размером b x h: Wпр = bh 2 / 6 .
2. Круглое сечение диаметром d: Wкруг = π d 3 / 32 ≈ 0,1d 3
3. Кольцо размером D x d: Wкольца = ≈ 0,1 (D 4 – d 4 ) / D ; (момент сопротивления кольцевого сечения нельзя определять, как разность моментов сопротивления большого и малого кругов) .
Читайте так же: Трещина в трубе в стене
Касательные напряжения при изгибе
Касательные напряжения при изгибе
Изгиб касательное напряжение. В предыдущем пункте было отмечено, что при изгибе балки под действием боковых нагрузок на участке tp части балки возникают тангенциальные напряжения t, а также вертикальные напряжения(рис.100). Из вышесказанного можно сделать вывод из условий Рисунок 100. Б.）
- Равновесие, что величина этих касательных напряжений такова, что их сумма дает боковую силу меньше 2.При изучении законов распределения этих касательных напряжений по поперечному сечению, мы начнем с простого случая прямоугольного поперечного сечения поперечного сечения (рис. 101).
В этом случае, естественно предположить, что касательное напряжение в каждой точке сечения параллельна поперечной силы с>, т. е. параллельно боковой поверхности МН сечения. В этом случае она представляет собой стресс через±да. В а, м свидетельствует о том, что касательного напряжения, параллельной п /оси, и знак X указывает на то, что стресс действует на плоскость, перпендикулярную оси абсцисс.
В качестве 2-го предположения принимается равномерное распределение касательного напряжения по ширине балки КСК. Людмила Фирмаль
Эти 2 допущения позволяют найти закон распределения касательных напряжений. Более точное исследование поставленной задачи показывает, что результаты, полученные приближенным решением, очень точны и совпадают на практике с результатами точного решения в узком прямоугольнике (L больше по сравнению с рисунком 101 b% 1).
Если вырезать элемент ac (kaxx То есть тангенциальные напряжения, действующие вдоль 2 плоскостей, перпендикулярных друг другу элементов, равны друг другу).Ранее такие же выводы делались при простом растяжении (см. 40 страниц) и 2 вертикальных растяжении или сжатии (см. 45 страниц). Наличие касательного напряжения в плоскости, параллельной нейтральному слою, можно показать в простом эксперименте.2, устанавливают 2 равных прямоугольных луча свободно на поддержке.
Изгиб под действием сосредоточенной нагрузки R, 102.Если между балками нет трения, то изгиб каждой балки происходит независимо друг от друга. Каждый из них имеет сжатие верхней части и растяжение продольных волокон нижней части, принимая форму, показанную на рисунке. 102, Б. нижние продольные волокна верхней балки скользят вдоль верхних волокон нижней балки. beam.
- На сплошном стержне высотой 2L вдоль нейтрального слоя nn (рис.102, а) должно появиться тангенциальное напряжение такой величины, которое может препятствовать скольжению верхней части стержня относительно нижней, как показано на Рис. 2. 102, Б. из — за таких скользящих препятствий 26 балок высоты 1 намного тверже и прочнее 2 балок высоты L, respectively. To предотвратить скольжение, на самом деле Рисунок 102.Рисунок 103.
Дюбель — это a, 6, c,…(Фиг.103, а). наблюдая зазор ключа (фиг. 103, б), можно определить направление скольжения в случае составной балки, и, таким образом, направление напряжения сдвига, действующего вдоль нейтрального слоя всей балки. 1).
Это конечное напряжение можно легко вычислить из равновесного состояния элементов pgrp2, вырезанных из балки двумя смежными участками mn и mn, и плоскостью mr>, параллельной нейтральному слою (рис.104, А) и (104.6).Моментом воздействия на этот элемент является касательное напряжение m вдоль плоскости ppx в направлении оси x и перпендикулярное напряжение ox вдоль плоскости pn и pxpx.
Предыдущие соображения показывают, что в любой точке сечения тангенциальное напряжение действует на плоскость сечения и численно равно горизонтальному тангенциальному напряжению m, действующему на плоскость, параллельную нейтральному слою и проходящему через ту же точку. Людмила Фирмаль
Если изгибающие моменты сечений mn и mnx равны, то есть для чистого изгиба плоскость pr и нормальное напряжение ax вдоль mxr равны и уравновешены друг с другом other. In в этом случае касательное напряжение thu будет равно нулю. Далее рассмотрим более общий случай переменного изгибающего момента, представляющего моменты поперечных сечений mn и mnx в виде M и M + c1M соответственно.
Затем обычное усилие, действие- Рисунок 104. Основная Область
Вы можете видеть, что касательное напряжение распределено неравномерно по площади поперечного сечения. наибольшее значение te; //берется при 0, то есть точка, расположенная вдоль нейтральной оси. Из Формулы (65) ( налоговая = ПК. 2.Определите максимальное нормальное и максимальное касательное напряжение балки, показанное на рисунке.
Если он равен 107, то a = 0,6 м, c = 1,2 л, b = 20 см, b * = 25 см, P = 2,5 т -. Ответ. (о) та1 = 48 кг! см и (тух) Т » = 5 / У / с * 8. 8.Определить максимальное касательное напряжение, действующее на нейтральный слой равномерно нагруженной балки, Если длина балки составляет/ = 2 м, нагрузка на погонный метр составляет 1300 кг / м, высота сечения L = 25 см, а ширина-20 см. 。Ответ. ттт = 3,9 кг! см2. ■4.Задача 2, определить максимальное касательное напряжение вертикального стержня АВ пункта 25.